(Kmitání mechanického oscilátoru)

– pohyb, při kterém se těleso nebo HB pohybuje po úsečce nebo křivce okolo rovnovážné polohy

Periodický kmitavý pohyb

• – těleso/HB konající pohyb prochází v pravidelných intervalech rovnovážnou polohou
• – grafem závislosti pohybu na čase nemusí být goniometrická funkce
• – poloha při které má těleso nejnižší potenciální polohovou energii a výslednice sil působících na těleso je nulová
• – zařízení konající kmitavý pohyb
• – kmitání je způsobeno tíhovou silou, těleso je zavěšené nad těžištěm a koná polokruhový pohyb jehož středem je místo závěsu

Rovnovážná poloha

Oscilátor

Matematické kyvadlo

 

Pružinový oscilátor

• – těleso zavěšené na pružině, kmitání je způsobeno silou pružnosti, trajektorie pohybu je přímka

 

Kinematika kmitání

• – popisujeme pomocí grafu závislosti okamžité výchylky na čase

• Kmit

• – periodicky se opakující část pohybu, pohyb,který hmotný bod vykoná než se vrátí do výchozí polohy

• Kyv

• – polovina kmitu, u matematického kyvadla pohyb z jedné strany na druhou, u pružinového oscilátoru pohyb z horní amplitudy do dolní amplitudy nebo naopak

• Perioda

• – doba jednoho kmitu,[T] = s

• Frekvence

• – počet kmitů za sekundu,[f]= s^-1 = Hz, převrácená hodnota periody
• Harmonický kmitavý pohyb
• – nejjednodušší typ periodického pohybu
• – grafem závislosti pohybu na čase je graf funkce sinus
• – při znázornění na jednotkové kružnici je střed kružnice rovnovážná poloha

• Okamžitá výchylka

• – slouží k popisu kmitání
• – vzdálenost tělesa od rovnovážné polohy, může mít kladné i záporné hodnoty
• – průmět polohového vektoru do osy y v soustavě souřadnic
• Fáze
• – úhel, který svírá polohový vektor s osou x

– úhlová rychlost(frekvence), úhel, který urazí HB za jednotku času,[ω] = rad.s^-1

• – pro jedem kmit:
• Počáteční fáze
• – uvádí se pokud HB nezačal pohyb z rovnovážné polohy
• – při výpočtech se přičítá k fázi φ a značí se φ₀

• Amplituda okamžité výchylky

• – absolutní hodnota nejvyšší možné okamžité výchylky
• – velikost amplitudy okamžité výchylky je stejná jako poloměr jednotkové kružnice a tedy polohový vektor, při popisu kmitání na jednotkové kružnici – důkazem je situace,kdy je fáze 90 stupňů, polohový vektor leží v ose y a je stejný jako okamžitá výchylka, která má nejvyšší možnou hodnotu = amplituda

• Okamžitá rychlost

• – rychlost v kmitání je průmět vektoru rychlosti v₀ analogického pohybu po kružnici do osy y, trojúhelník, který vznikne posunutím konce vektoru v ke konci vektoru v₀ je podobný trojúhelníku, kterým vznikne průmětem polohového vektoru r do osy y -> trojúhelníky mají stejné úhly, vektor v a v₀ svírají úhel φ ->

– v_o je rychlost pohybu pro kružnici ->

– hmotný bod je v rovnovážné poloze a fáze je 0, cos 0 = 1 -> v = max.

– hmotný bod je v amplitudě, fáze je π/2, cos 90 = 0 -> v = 0

Okamžité zrychlení

• – průmět vektoru normálového zrychlení a₀ analogického pohybu po kružnici(bereme v úvahu rovnoměrný pohyb po kružnici -> tečné zrychlení je nulové) do osy y, trojúhelník, který vznikne posunutí konce vektoru okamžitého zrychlení a ke konci vektoru a₀ je opět podobný, úhel φ tentokrát je úhel mezi vektorem a₀ a kolmicí na vektor a ->
• – má vždy směr opačný než vektor y, proto má opačné znaménko
• – oba vztahy lze odvodit pomocí derivace

• Fázorový diagram

• – znázornění veličin kmitavého pohybu v soustavě souřadnic při počáteční fázi, využívá se podobnosti kmitavého pohybu s pohybem po kružnici

• Fázor

• – vektor, který popisuje amplitudu a počáteční fázi
• – střed má ve středu diagramu, jeho velikost je rovna velikosti amplitudy a úhel, který svírá s osou x je počáteční fáze

• Fázový rozdíl

• – používá se při skládání dvou kmitání
• – fázový rozdíl jde spočítat pouze u kmitání se stejnou úhlovou frekvencí
• – pomocí něj se dají odvodit vztahy mezi jednotlivými veličinami kmitání(rychlost fázově posunuta o π/2 před výchylku)
• – dva HB kmitají se stejnou fází pokud:

Stejná fáze

– oba HB budou mít stejnou okamžitou výchylku

Opačná fáze

• – dva HB kmitají s opačnou fází pokud
• – HB mají opačnou okamžitou výchylku

• Superpozice(skládání) kmitání

• – skládání několika kmitavých pohybu v jeden
• – jestliže HB koná současně několik kmitavých pohybů téhož směru s výchylkami y₁, y₂, y₃…y_n je okamžitá výchylka výsledného pohybu y = y_{1 +} y_{2 +} y₃ +…+ y_n
• – okamžité výchylky mohou mít kladnou i zápornou hodnotu

• Superpozice izochronního kmitání

• – izochronní = oba kmitavé pohyby mají stejnou úhlovou frekvenci

            ω₁ = ω₁ -> f₁ = f₂

• – v tomto případě stačí uvažovat amplitudu a počáteční fázi jednotlivých kmitání -> stačí sestrojit fázory jednotlivých kmitání a jejich vektorovým součtem dostaneme fázor výsledného kmitání
• – nebo můžeme sčítat aktuální výchylky jednotlivých bodů
• – výsledná amplituda závisí na fázovém rozdílu obou složek

1. y_m1 = y_m2
   1. superpozice kmitání se stejnou fází

– y_m = y_m1 + y_m2 = 2y_m1/2

1. superpozice kmitání s opačnou fází

– y_m = |y_m1 – y_m2|= 0 – kmitání zaniká

2. y_m1 ≠ y_m2

• – výsledná amplituda závisí na fázovém rozdílu, ale kmitání nikdy nezanikne, při stejné fázi je výsledná amplituda součet amplitud obou složen, při opačné fázi rozdíl a počáteční fáze je stejná jako počáteční fáze kmitání s větší výchylkou

Superpozice kmitání o různých frekvencích

ω₁ ≠ ω₁ -> f₁ ≠ f₂

• – výsledné kmitání lze sestrojit součtem aktuálních výchylek jednotlivých složek
• – výsledné kmitání není harmonické, a amplituda y_m výsledného kmitání se periodicky mění

Superpozice kmitání blízkých frekvencí

ω₁ → ω₁ -> f₁ → f₂

• – amplituda výchylky výsledného kmitání se periodicky zmenšuje a zvětšuje = rázy
• – příčinou kmitání je síla pružnosti nebo tíhová síla

Dynamika kmitání

Pohybová rovnice harmonického kmitání

podle 2. NPZ:

• – úhlová frekvence závisí na vlastnostech oscilátoru
• – parametry: m – hmotnost tělesa, k – tuhost pružiny,[K] = N.m^-1, tím větší čím větší síla je potřeba k jejímu prodloužení
• – pohyb způsobuje síla pružnosti, která má vždy směr do rovnovážné polohy

Pružinový oscilátor

– l je délka pružiny po vychýlení tělesa z rovnovážné polohy, l₀ – délka pružiny v klidu -> Δl – prodloužení pružiny

síly působící na pružinový oscilátor

• – výslednice sil působících na oscilátor v pohybu je rozdíl síly pružnosti a tíhové síly
• – pokud těleso zavěsíme na oscilátor čase se dostane do rovnovážné polohy ->

• Frekvence, perioda

• – porovnáním odvozené síly a pohybové rovnice harmonického pohybu získáme vztahy pro jednotlivé veličiny charakterizující kmitání

• Matematické kyvadlo

• – příčinou je tíhová síla
• – zanedbáváme hmotnost, parametry jsou : l – délka závěsu, g – gravitační zrychlení
• – zanedbáváme oporovou sílu vzduchu a počítáme s úhlovou výchylkou max α = 5⁰ – pohybu můžeme považovat za přímočarý

• Síly působící na matematické kyvadlo

• – působí pouze tíhová síla, ta se při pohybu rozkládá na sílu napínající závěs a sílu snažící se HB vrátit do rovnovážné polohy
• – trojúhelník vzniklý rozložením sil je podobný trojúhelníku, který vznikne vychýlením HB z rovnovážné polohy ->

– F je síla snažící se navrátit HB do rovnovážné polohy, trojúhelníky jsou podobné, úhel alfa je shodný pro oba->

– pro alfa do 5 stupňů považuje pohyb za přímočarý, proto můžeme dosadit y

– síla snažící se dostat matematické kyvadlo do rovnovážné polohy

Frekvence, Perioda

• – získáme porovnáním vyjádřené síly s pohybovou rovnicí harmonického kmitání
• – při kmitání odchází k změnám energie, když je těleso v rovnovážné poloze(rychlost je max) má nejmenší potenciální energie a největší kinetickou, když je těleso v amplitudě(rychlost je min) má těleso největší potenciální a nejmenší kinetickou
• – po zavěšení tělesa na pružinu se jeho potenciální energie skládá z potenciální energie pružnosti a polohové(tíhové) potenciální energie ->
• – energie potenciální pružnosti je rovna práci, kterou vykoná síla pružnosti při prodloužení pružiny

Energie kmitání

– sílá není konstantní, roste přímo úměrně s prodloužením, dráha po které síla působí je prodloužení ->

– platí pro oscilátor v klidu

Celková energie

• – součet potenciální a kinetické energie

– kinetická energie kmitání

• – platí zákon zachování energie

• Tlumené kmitání

• – na oscilátor působí vnější síly, mechanická energie se mění na jiné formy energie(vnitřní) nebo na práci potřebnou k překonání odporu prostředí -> amplituda se s časem zmenšuje
• – vlastní kmitání reálného oscilátoru je vždy tlumené

• Netlumené

• – nedochází k přeměně mechanické energie na jiné formy -> amplituda je konstantní = ideální kmitání

• Nucené

• – dodáváme energii na překonání odporu prostředí -> oscilátor kmitá s frekvencí vnějšího zdroje – neplatí vztahy pro frekvenci a amplituda je určená frekvencí vnějšího zdroje

• Rezonance

• – je jev, kdy se frekvence vnějšího zdroje přiblíží frekvenci vlastního kmitání oscilátoru -> amplituda je nejvyšší možná

• Rezonanční křivka

• – graf závislosti amplitudy na frekvenci vnějšího zdroje