Mechanika kapalin a plynů

Hydro(aero)statika

Základní vlastnosti kapalin a plynů

• – tekutost – díky snadné vzájemné pohyblivosti částic, z nichž se tekutiny(plyny+kapaliny) skládají, tekutost charakterizuje viskozita(vnitřní tření) – tření které vzniká mezi částicemi látky, plyny mají větší viskozitu než kapaliny, tekutější kapaliny mají menší viskozitu
• – nemají stálý tvar

Kapaliny

• – prakticky nejsou stlačitelné, díky odpudivým silám, které mezi částicemi působí
• – mají stálý objem(v klidu vytváří v tíhovém poli Země volnou hladinu)

Plyny

• – jsou velmi dobře stlačitelné
• – nemají stálý objem

Ideální kapalina, plyn

Kapalina

• – dokonale tekutá, bez vnitřního tření, vůbec nestlačitelná

Plyn

• – dokonale tekutý, bez vnitřního tření ,dokonale stlačitelný
• – charakterizuje stav tekutiny v klidu
• – skalární veličina,[p] = Pa = N.m^-2 = kg.m^-1.s^-2 = tlak vyvolaný sílou o velikosti 1 N působící kolmo na plochu o obsahu 1 m²
• – má-li tekutina v určitém místě tlak,pak kolmo na libovolně orientovanou rovinu působí tlaková síla(na tělesa působí síla,ne tlak,tlak je důsledek působení síly)
• – k měření tlaku se používají manometry – kapalinové – tlak se měří na základě rozdílu hladin v trubici ve tvaru U vyvolaného hydrostatickým tlakem, kovové(deformační) – tlak pružně deformuje kovovou část přístroje, které je napojena na ručičku, rozšířenější
• – působíme-li na tekutinu vnější silou, tato síla se v kapalině přenáší do všech směrů a působí vždy kolmo na stěnu nádoby
• – tlak vyvolaný vnější silou působící na povrch tekutiny v uzavřené nádobě je ve všech místech stejně veliký
• – využití – hydraulická zařízení
• – zařízení, které využívá Pascalova zákona ke změně poměru sil působící na pístech
• – na kapalinu(plyn) v pístu o menší ploše a působíme silou F₁, ta vyvolá tlak, který je na obou pístech stejný, kapalina(plyn) tedy bude na píst o větší ploše působit větší silou F₂
• è kolikrát větší plochu bude mít druhý píst, tolikrát větší silou na něj bude kapalina(plyn) působit
• – využití: hydraulický lis, zvedáky, brzdy automobilů
• – v tíhovém poli Země působí na všechny částice kapaliny tíhová síla
• – tíhová síla kapaliny, která působí na plochu S

Tlak

Tlak vyvolaný vnější silou

Pascalův zákon

Hydraulická(pneumatická) zařízení

Tlak v kapalině vyvolaný tíhovou silou

Hydrostatická tlaková síla

– hmotnost sloupce kapaliny o výšce h a ploše dna nádoby S

Hydrostatické paradoxon

• – velikost hydrostatické tlakové síly nezávisí na tvaru nádoby ani celkovém objemu, pokud mají nádoby stejnou plochu dna S a kapalina je nalita do stejné výška h mají i stejnou hydrostatickou tlakovou sílu
• – tlak vyvolaný hydrostatickou tlakovou silou
• – místa o stejném hydrostatickém tlaku jsou hladiny, místo o nulovém hydrostatickém tlaku je volná hladina
• – nádoby různého tvaru se společným dnem
• – pokud do nich nalijeme kapalinu o stejné hustotě, bude její volná hladina ve všech nádobách stejná, platí zde Pascalův zákon – hydrostatický tlak kapaliny musí být na všech místech stejný, tudíž v každé nádobě musí být stejná výška h vodního sloupce
• – aby byly nemísící se kapaliny ve spojené nádobě v rovnováze, musí se rovnat jejich hydrostatické tlaky na rozhraní kapalin
• – využití: určení hustoty neznáme kapaliny
• – v tíhovém poli Země působí na všechny částice atmosféry tíhová síla
• – důsledek působení tíhové síly na částice atmosféry
• – síla kterou působí atmosféra kolmo na rovinu(povrch Země)
• – tlak vyvolaný atmosférickou tlakovou silou
• – p_a
• – hustota atmosféry není konstantní, s rostoucí výškou je vzduch řidší -> atmosférický tlak s rostoucí výškou klesá(na 100 m asi o 1,3 kPa, využití při měření relativní výšky hor) a pro výpočet atmosférického tlaku nelze použít vzorec na výpočet hydrostatického tlaku
• – pokus sloužící k měření atmosférického tlaku
• – asi 1 m dlouhou trubici s 1 zataveným dnem naplníme rtutí a otočenou dnem vzhůru ponoříme do nádoby se rtutí, část rtuti vyteče, ale ne všechna, sloupec rtuti se ustálí na výšce h, při které je hydrostatický tlak rtuti stejný jako atmosférický tlak vzduchu ->

Hydrostatický tlak

Spojené nádoby

Spojené nádoby kapalin s různou hustotou

Tlak v plynu vyvolaný tíhovou silou

Atmosférická tlaková síla

Atmosférický tlak

Torricelliho pokus

– h je výška sloupce rtuti, za hustotu dosadíme hustotu rtuti a vy jde nám hydrostatický tlak rtuti, který se rovná atmosférickému tlaku vzduchu

• – z něj odvozená jednotka torr = mm Hg(1 torr = 133 Pa), standardní tlak – p_n = 760 T = 101,3 kPa
• – zařízení měřící atmosférický tlak

Barometr

rtuťový – založen na principu Torricelliho pokusu

kovový(aneroid) – méně přesný, běžnější

barograf – zaznamenává průběžné hodnoty tlaku

Hydrostatická Vztlaková síla

• – síla, která nadlehčuje těleso v kapalině
• – kolmo na každou stěnu kvádru ponořeného v kapalině působí hydrostatická tlaková síla, síly působící na boční stěny se vyruší(v každé konkrétní výšce h jsou síly působící na stěny stejně veliké a vždy se najdou dvě opačně orientované, plochy všech bočních stěn jsou stejné), nevyruší se síly působící na podstavy, protože každá působí v jiné výšce, výslednice těchto sil je hydrostatická vztlaková síla
• – síla působící na spodní postavu(F₂) jsou ve větší hloubce h než síla působící na vrchní podstavu(F₁)-> síla působící na spodní podstavu jsou větší(F₂> F₁)

– h₁ – vzdálenost vrchní podstavy od hladiny, h₂ – vzdálenost spodní podstavy od hladiny, h – výška tělesa, S – plocha tělesa -> V – objem tělesa, !ρ – hustota kapaliny!

Archimédův zákon

– m je hmotnost kapaliny, která má stejný objem jako těleso, G je potom tíha kapaliny o stejném objemu jako objem tělesa -> těleso ponořené do kapaliny je nadlehčováno silou, která se rovná tíze kapaliny tělesem vytlačené

• – ponořené těleso v kapalině zvedne hladinu o kapalinu o stejném objem jako těleso
• – na těleso ponořené v kapalině působí krom síly vztlakové i síla tího
• – výslednice sil působících na těleso je tedy rozdílem síly vztlakové a tíhové
• – tíhová a hydrostatická vztlaková síla mají každá různé působiště – tíhová působí v těžišti tělesa, hydrostatická vztlaková v těžišti ponořené části tělesa

Plování těles

– výsledná síla bude + -> stejný směr jako síla tíhová – těleso klesá ke dnu

– výsledná síla bude nulová -> těleso se v kapalině vznáší

– výsledná síla bude – -> stejný směr jako síla vztlaková – těleso vstoupá vzhůru – ustálí se ve výšce, kde tíhová síla bude stejná jako vztlaková a těleso bude plovat na hladině

– na tomto principu fungují hustoměry – pokud chce zjistit hustotu neznámé kapaliny, ponoříme do ní těleso a známém objemu a hustotě, změříme objem kapaliny tělesem vytlačené a ze vzorce spočítáme hustotu kapaliny(následně pomocí tabulek můžeme určit o jakou kapalinu se jedná)

– platí i pro plyny, jenže vztlaková síla plynů je mnohokrát menší než kapalin vzhledem k několikrát menší hustotě plynů -> při vážení těles můžeme vztlakovou sílu zanedbat v případech, kdy vážené těleso má nepoměrně větší hustotu než plyn(ale například baňku z tenkého skla nezvážíme)

– využití: létací balony

Hydro(aero)dynamika

• – zabývá se pohybem kapalin(plynů)
• – neuspořádaný pohyb částic ve směru proudění(částice se pohybují i jiným směrem, ale pohyb ve směru proudění převažuje)

Proudění

stacionární(ustálené) – rychlost proudění částic je konstantní

nestacionární – rychlost proudění částic se mění s časem(trubice má v různých místech různých průřez)

Proudnice

• – myšlená čára, která znázorňuje trajektorii pohybu částic a jejíž tečna v libovolném bodě má směr vektoru rychlosti proudění
• – slouží k popisu proudění
• – každým bodem proudění prochází pouze 1 proudnice
• – objem kapaliny, která proteče průřezem za jednotku času
• ^– [Q_V] = m³.s^-1
• ^– měří se vodoměry nebo plynoměry
• – hmotnost kapaliny, která proteče průřezem za jednotku času
• – [Q_m] = kg.s^-1
• – při ustáleném proudění ideální kapaliny je objem kapaliny, která proteče průřezem v různých místech trubice je vždy stejný

Objemový průtok

Hmotnostní průtok

Stacionární proudění ideální kapaliny

Rovnice spojitosti

-> zúžením trubice se rychlost proudění zvětší, rozšířením zmenší

• – u plynů toho odvození neplatí,protože ideální plyn je dokonale stlačitelný a jeho objem se tudíž mění, ze zákona zachování hmotnosti ale vyplývá že hmotnostní průtok u plynů je konstantní
• – zákon zachování energie jednotkového objemu kapaliny(formulace zákona zachování energie)
• – pokud se mění rychlost proudění musí se měnit i kinetická energie proudění, protože platí zákon zachování energie(celková E soustavy je konstantní), musí se měnit i energie potenciální – konkrétně tlaková složka potenciální energie, protože tíhová ani potenciální energie pružnosti se nemění(tíhová protože vodorovná osa trubice je stále ve stejné výšce h a pružnosti protože ideální kapalina je nestlačitelná)

Bermoulliho rovnice

tlaková potenciální energie

• – je určená prací, kterou vykoná tlaková síla

– S – plocha pístu na který talková síla působí

– l – délka trubice o kterou tlaková síla píst posune

– zákon zachování energie

– vydělíme-li celou rovnici V, dostaneme energie připadající na jednotku objemu:

– dynamický tlak

– statický tlak

• – součet kinetické a potenciální tlakové energie kapaliny o jednotkovém objemu je ve všech místech stejný(součet dynamického a statického tlaku je ve všech místech trubice konstantní)
• – vyplívá z Bermoulliho rovnice
• – zúžením trubice zvýšíme rychlost proudění a proto se nám sníží statický tlak v kolmé trubici pod hodnotu atmosférického tlaku – vznikne podtlak

Hydro(aero)dynamická paradoxon

příklady:

1. foukání mezi listy papíru – foukáním mezi listy papíru výrazně zvýšíme rychlost proudění vzduchu -> sníží tlak mezi papíry vzduchu pod úroveň atmosférického a následně atmosférická tlaková síla přimáčkne papíry k sobě, i přesto,že bychom mohli čekat že se oddálí
2. rozprašovač – do nádoby s proudící vodou umístíme trubici, která má menší plochu průřezu, takže jak vyplívá z rovnice spojitosti rychlost proudění v úzké trubici bude větší a tím pádem(vyplývá z BR) bude tlak v trubici menší než atmosférický tlak(vznikne podtlak) -> částice vzduchu budou atmosférickou tlakovou silou tlačeny do trubice a budou vytlačovat částice kapaliny, která začne stříkat do okolí

Výtoková rychlost kapaliny

• – odvozuje se ze zákona zachování energie
• – v místě výtoku kapaliny se potenciální tlaková energie kapaliny mění na kinetickou energii(obě o jednotkovém objemu)

• Proudění reálné tekutiny

• – v reálné kapalině působí vnitřní třecí síly mezi částicemi proti pohybu

• Prodění reálné kapaliny trubicí

• – reálná kapalina se na rozdíl od ideální nepohybuje v celém průřezu stejnou rychlostí, částice na styku kapaliny a trubice se(mezní vrstva kapaliny) pohybují pomaleji, jelikož tření mezi trubici a kapalinou je větší než tření mezi samotnými částicemi kapaliny
• – nejrychleji se pohybují částice ve středu průřezu trubice
• – u plynu vnitřní tření není tak veliké, protože jsou větší mezery mezi jednotlivými částicemi -> rozdíl v rychlostech proudění se neprojevuje tak moc, jako u kapalin

• Laminární proudění

• – při malých rychlostech proudění kapaliny je rozdíl mezi rychlostí proudění jednotlivých částic minimální – proudnice jsou stále rovnoběžné

• Turbulentní

• – při vyšších rychlostech proudění kapaliny proudnice nejsou rovnoběžné – dochází ke vzniku víru = turbulence

• čerpadla

• – slouží k překonání vnitřního tření viskózních kapalin – udržují proudění laminární
• – u kapalin s vyšším vnitřním třením(viskozitou) je třeba vykonat práci na překonání vnitřního tření částic -> pro reálné kapaliny neplatí zákon zachování energie

• Obtékání těles reálnou tekutinou

• – dochází k němu při umístění tělesa do proudící tekutiny(obtékání pilíře mostu vodou v řece)

• Hydro(aero)dynamická odporová síla

• – vzniká v důsledku vnitřního tření mezi proudící tekutinou a tělesem do ní umístěným, působí proti směru pohybu tělesa

– S je plocha příčného řezu tělesa, ρ je hustota kapaliny a C je součinitel odporu

Součinitel odporu

• – C, bez jednotky, závisí na tvaru tělesa a na pohybu tělesa: těleso, které se pohybuje proti proudění má větší C, než těleso pohybující se ve směru proudění, polokoule nastavená plochou stranou proti směru proudění má větší C než polokoule nastavená proti proudění kulovou plochou
• – využití: padáky – mají vysokou hodnotu C, ponorky a letadla – jsou tvarovány, tak ať mají co nejmenší hodnotu C = aerodynamický, hydrodynamický tvar(proudnicový) -> dojde k úspoře práce nutné k překonání odporových sil
• – křídla jsou dělána aerodynamicky, ale nejsou souměrná -> plocha na vrchu křídla je dělána větší -> proudění musí být rychlejší nad křídlem(proudnice se zhušťují) -> podle Bermoulliho rovnice je tlak na vrchní plochu křídla je menší než atmosférický tlak pod křídlem, tlaková síla působící na horní plochu

• Fyzika létání

• křídla je menší než tlaková síla působící na spodní plochu křídla -> jejich výslednice – kolmá vztlaková síla zvedá letadlo
• – reálně letadlo nadnáší aerodynamická síla, která je výslednice kolmé vztlakové síly a aerodynamické odporové síly

           Aerodynamická síla

– C‘ je součinitel vztlaku, čím větší je tím lepší jsou letové vlastnosti křídla