Nákladové funkce
Nákladové funkce vyjadřují vztah (matematickou formou) mezi
− náklady (závisle proměnná) a
− objemem výroby, objemem produkce (nezávisle proměnná) podniku;
obecně:
N = f (Q)
kde: N – náklady v peněžním vyjádření,
Q – produkce v naturálních jednotkách.
Rozlišujeme:
krátkodobé nákladové funkce a
dlouhodobé nákladové funkce.
V dalším se budeme zabývat především problematikou krátkodobých nákladových funkcí,
které charakterizují průběh nákladů v krátkém období, respektují rozdělení nákladů na fixní a
variabilní a používají se v běžném, operativním řízení.
6.1. ZÁKLADNÍ CHARAKTERISTIKY NÁKLADOVÉ FUNKCE
K základním charakteristikám krátkodobé nákladové funkce patří:
celkové náklady,
průměrné náklady (jednotkové),
mezní náklady (marginální, hraniční).
Celkové náklady (N) jsou veškeré náklady vynaložené na celkový objem produkce (jsou
dány hodnotami nákladové funkce).
Celkové náklady podle vztahu k produkci se člení na:
− fixní náklady (pevné, neměnné, stálé),
− variabilní náklady (proměnné).
Fixní náklady – FN
− objem fixní nákladů se nemění se změnou rozsahu produkce;
− příklady fixních nákladů: náklady na odpisy, nájemné, úroky apod.
Variabilní náklady – VN
− objem variabilních nákladů se mění se změnou rozsahu produkce;
− příklady variabilních nákladů: náklady na suroviny, základní materiál, pohonné
Variabilní náklady se mohou měnit různě; rozlišujeme tyto variabilní náklady:
− variabilní náklady lineární (proporcionální) – VNl – mění se přímo úměrně
− variabilní náklady progresivní (nadproporcionální) – VNp – rostou rychleji než
− variabilní náklady degresivní (podproporcionální) – VNd – rostou pomaleji než
Nejčastější průběh variabilních nákladů v podniku je kombinovaný průběh, a sice
průběh degresivně-progresivní.
Platí: N = FN + VN
Průměrné náklady (jednotkové) – PN
;
hmoty, energii, pracovní náklady v případě, že odměna je závislá na množství
produkce apod.
s množstvím produkce,
objem produkce (pokud se v podniku projevuje zákon klesajících výnosů),
objem produkce (např. při zhromadnění výroby).
− jsou náklady připadající v průměru na jednotku produkce (od zahájení výroby),
− vypočteme je tak, že náklady dělíme celkovým množstvím produkce, a to podle
vztahu:
N
Q
.
PN =
Rozlišujeme:
− průměrné fixní náklady – PFN,
− průměrné variabilní náklady – PVN;
platí: PN = PFN + PVN
Průměrné variabilní náklady – mohou být:
− průměrné variabilní náklady lineární – PVNl – s růstem produkce se nemění,
− průměrné variabilní náklady progresivní – PVNp – rostou s růstem objemu
− průměrné variabilní náklady degresivní – PVNd – klesají s růstem objemu
Průměrné fixní náklady – PFN – s růstem produkce průměrné fixní náklady trvale
klesají (hyperbolická funkce).
Průměrné náklady – PN – jejich průběh závisí na poměru jednotlivých druhů nákladů.
Pokud celkové náklady budou tvořeny náklady fixními a náklady variabilními degresivně-
progresivního typu, průběh průměrných nákladů bude mít
− zpočátku sféru degrese – především vlivem počátečního rychlého poklesu
− později sféru progrese – pokles průměrných fixních nákladů je již pomalý a
Mezní náklady (marginální, hraniční) – MN
představují přírůstek nákladů na jednotku přírůstku produkce:
N MN
Funkce mezních nákladů je pak první derivací nákladové funkce.
Mezní náklady předpokládají změnu nákladů, proto je možné sledovat mezní náklady
− jen u variabilních nákladů,
− nebo u celkových nákladů, tvořených náklady fixními i variabilními.
Existence fixních nákladů má mimořádný vliv na vztahy mezi základními ekonomickými
veličinami podniku, jako jsou objem výroby, náklady a zisk. S růstem objemu výroby klesají
průměrné fixní náklady (a tím i celkové náklady na jednotku produkce). Tento jev se označuje
jako degrese nákladů.
Protože pokles průměrných fixních nákladů je zpočátku velmi rychlý a později jen pozvolný
(hyperbolická funkce), proto se ani zisk z jednotky produkce nevyvíjí lineárně. Pokles
(degrese) nákladů a růst zisku je tím vyšší, čím nižší je základní úroveň zvyšující se
výroby. Při manažerských propočtech obvykle předpokládáme, že variabilní náklady se
vyvíjejí lineárně (proporcionálně).
V souvislosti s existencí fixních nákladů lze pozorovat dva jevy – relativní úsporu fixních
nákladů a nevyužité fixní náklady.
Relativní úspora fixních nákladů
produkce,
produkce.
průměrných fixních nákladů, a
průměrné variabilní náklady se zvyšují stále rychleji.
∆
=
∆
Q
pro∆Q → 0
dN MN =
dQ
.
K relativní úspoře fixních nákladů dochází při zvyšování objemu produkce (v rámci dané
výrobní kapacity); vyjádří se podle vztahu:
U = FN ⋅(k −1)
kde: U – relativní úspora fixních nákladů v Kč,
FN – fixní náklady v Kč,
k – koeficient růstu objemu výroby (Q1/Q0).
Můžeme použít i vztahu, kterým zjistíme relativní úsporu nákladů v % vlivem fixních
nákladů:
U
%
kde: U% – relativní úspora nákladů (průměrných nákladů, resp. haléřové nákladovosti =
celkové náklady/objem produkce v Kč) v % vlivem fixních nákladů,
Q% – přírůstek objemu výroby v %, tj.: (k −1)⋅100
FN% – podíl fixních nákladů na celkových nákladech v % při Q = 100 %.
Nevyužité fixní náklady
Nevyužitím výrobní kapacity dochází k nevyužití fixních nákladů. Ta část fixních nákladů,
která odpovídá nevyužité výrobní kapacitě, se nazývá nevyužité (volné) fixní náklady; vyjádří
se podle vztahu:
FN FN 1
kde: FNn – nevyužité fixní náklady v Kč,
– skutečný objem výroby v naturálních jednotkách nebo v Kč,
Qs
Qp – výrobní kapacita v naturálních jednotkách nebo v Kč.
S růstem výše fixních nákladů a jejich podílu na celkových nákladech roste i provozní riziko
(viz. provozní páka).
Řešený příklad:
Roční fixní náklady závodu vyrábějícího žárovky jsou 4 500 000 Kč. Variabilní náklady na
jednu žárovku jsou 5 Kč, cena žárovky je 9 Kč. Výrobní kapacita je 1 500 000 kusů žárovek.
Úkol:
1) Vyjádřete relativní úsporu fixních nákladů v Kč rozšíření výroby z 1 200 000 na
1 500 000 kusů.
2) Vyjádřete relativní úsporu nákladů v % – průměrných nákladů, resp. haléřového
ukazatele nákladovosti – vlivem fixních nákladů, zvýšíme-li objem výroby z 1 200 000 na
1 500 000 kusů.
3) Stanovte nevyužité fixní náklady při výrobě 1 200 000 kusů žárovek.
Řešení:
1) Relativní úspora fixních nákladů v Kč:
Q
1 = = =
k
Q
U = FN ⋅(k −1) = 4500000 ⋅(1,25 −1) = 1125000 Kč
Relativní úspora fixních nákladů činí 1 125 000 Kč.
Důkaz: rozdíl v PFN, fixních nákladech na 1 ks (3,75 – 3,00) je 0,75 Kč; při výrobě
1 500 000 kusů to činí 1 125 000 Kč.
;
Q FN
⋅
% %
=
100 Q
+
;
%
,
= ⋅ −
n Q
Q
s
;
p
1500000
1200000
0
1,25
2) Relativní úspora nákladů v % – průměrných nákladů, resp. haléřového ukazatele
nákladovosti – vlivem fixních nákladů:
1500000 ( 1) 100 1 100
Q k
= − ⋅ = −
%
FN př Q 100%, tj. př Q 1200000ks %
FN = 4500000 Kč
N = 4500000 +1200000 ⋅5 = 10500000 Kč
4500000 FN % = ⋅ =
U
% =
=
Relativní úspora nákladů činí 8,57 %.
Důkaz:
PN Q ks 8,75Kč
při = =
PN Q ks 8,00 Kč
při = =
Využitím (vlivem) fixních nákladů došlo ke snížení průměrných nákladů z 8,75 Kč na
8,00 Kč, tj. o 0,75 Kč, tj.
haléřová nákladovost:
při Q = ks =
0 1200000 =
při Q = ks =
1 1500000 =
Využitím (vlivem) fixních nákladů došlo ke snížení haléřové nákladovosti z 0,972 na
0,889, tj. o 0,083, tj.
3) Nevyužité fixní náklady v Kč:
FN FN
n 900000
= ⋅ −
Nevyužité (volné) fixní náklady činí 900 000 Kč.
6.2. NÁKLADOVÉ FUNKCE A ANALÝZA BODU ZVRATU
Mezi základní ekonomické veličiny podniku patří zisk, náklady, objem výroby, ceny
produkce a tržby. Zkoumáním vztahů mezi nimi se zabývá následující problematika. Při
řešení vycházíme z těchto parametrů:
Q – množství vyrobených a prodaných výrobků, resp. rozsah (objem) výroby (v naturálních
Q
1
Q
0
⋅ = −
1200000
1 100 25%
⋅ =
i = i =
10500000
Q FN
⋅
% %
100 %
Q
+
100 42,86%
25 42,86
⋅
=
100 25
+
8,57%
1200000 =
0
1 1500000 =
4500000 1500000 5
0,75
8,75
4500000 1200000 5
4500000 1500000 5
1200000 1 4500000 1 =
0,083
0,972
Q
s
= ⋅ −
Q
p
4500000 1200000 5
+ ⋅
1200000
+ ⋅
1500000
⋅100
+ ⋅
1200000 9
+ ⋅
1500000 9
⋅100
o 8,57 %.
o 8,57 %.
⋅
0,972
0,889
⋅
1500000
Kč
jednotkách nebo v Kč),
p – cena výrobku (cena za jednotku výrobku),
T – tržby (předpokládáme, že vše, co se vyrobí, se také prodá),
FN – fixní náklady (jejich objem),
PVN – průměrné variabilní náklady (variabilní náklady na jednotku výrobku),
N – celkové náklady.
Analýza bodu zvratu umožňuje především stanovit:
při jakém minimálním rozsahu výroby bude výroba rentabilní,
při jakém rozsahu výroby bude podnik dosahovat zisku apod.
1. Bod zvratu při neměnné ceně a lineárním vývoji nákladů
Při manažerských propočtech obvykle předpokládáme tuto situaci, tj. neměnnou cenu a
lineární vývoj variabilních nákladů. Vztahy jsou nejprve zkoumány při produkci výrobků
stejného druhu.
Pro vývoj tržeb (T) při neměnné ceně platí vztah:
T = p ⋅Q
Pro vývoj celkových nákladů (N) při lineárním vývoji variabilních nákladů platí vztah:
N = FN + PVNl⋅Q
Dále platí, že zisk (Z) je rozdíl mezi tržbami (výnosy) a náklady:
Z = T − N
Z toho vyplývá, že zisku bude dosaženo, když T > N; když T < N vzniká ztráta.
Když T = N, nevzniká ani zisk, ani ztráta; tento rozsah výroby (resp. toto množství výrobku)
označujeme jako bod zvratu. Bod zvratu odvodíme:
T = N
p ⋅Q = FN + PVNl⋅Q ; z toho:
Q BZ
( ) =
kde: Q(BZ) – hledaný rozsah výroby, kdy nevzniká ani zisk, ani ztráta – bod zvratu
p – PVNl, tj. rozdíl mezi cenou a variabilními náklady na jednotku produkce
Po dosažení bodu zvratu vzniká zisk; zisk bude tím vyšší – při neměnné ceně a lineárním
vývoji nákladů – čím více výrobků vyrobíme a prodáme.
Znázornění vývoje tržeb a nákladů:
tržby
náklady
(T, N) zisk
FN
p PVNl
−
(též kritický bod rentability, bod krytí nákladů apod.);
(průměrné variabilní náklady lineární) označujeme jako příspěvek na úhradu
fixních nákladů a zisku.
;
T
N
ztráta
BZ – bod zvratu
BZ objem produkce (Q)
Kritické využití výrobní kapacity (v %):
Kritické využití výrobní kapacity (Qp krit) zjistíme jako poměr objemu výroby ve výši bodu
zvratu Q(BZ) a výrobní kapacity (Qp):
Q
p krit Q
Bod zvratu pro dosažení požadovaného zisku:
Cílem podniků je produkovat zisk, dosáhnout určitého zisku. Pokud tento požadovaný zisk
označíme jako minimální zisk (Zmin), pak nový bod zvratu, zahrnující i tvorbu tohoto zisku
Q(Zmin), vyjádříme podle vztahu:
Q Z
min ( )
Koeficient bezpečnosti (v %):
Koeficient bezpečnosti (kB) nám vyjadřuje, jak „daleko“ se podnik nachází od bodu zvratu.
Blíží-li se koeficient nule, hrozí podniku, že se dostane do ztráty. Nemůže-li zvýšit tržby
(objem prodeje a cenu), musí snížit variabilní náklady a odbourat část fixních nákladů.
Koeficient bezpečnosti se vypočte podle vztahu:
kB
– skutečně dosažený objem výroby (v naturálních jednotkách nebo v Kč).
kde: Qs
Řešený příklad:
Při výrobě daného výrobku je známa nákladová funkce N = 20000 + 2 ⋅Q . Prodejní cena za
l ks výrobku činí 5,50 Kč.
Úkol:
1) Určete bod zvratu.
2) Jaké množství výrobku musí podnik vyrobit, aby dosáhl zisku ve výši 40 000 Kč?
Řešení:
1) Bod zvratu:
20000 ( )
Q BZ
2) Množství výrobku, při němž podnik dosáhne zisku ve výši 40 000 Kč:
20000 40000 ( )
Q Z
min
Q BZ
( )⋅100
=
p
FN Z
=
p PVNl
−
+
min
p Q FN PVNl Q + Zmin ⋅ = + ⋅
(vycházíme ze vztahu:
)
Q Q BZ
100 ( )
−
s
=
Q
s
⋅
,
FN
=
p PVNl
−
=
5,50 2
−
=
5 714 ks výrobku.
FN Z
+
=
p PVNl
−
min
=
5,50 2
+
=
−
17 143 ks výrobku.
Výše uvedené úlohy lze různým způsobem kombinovat, přičemž můžeme zjistit např.:
– maximálně přípustné fixní náklady a variabilní náklady na l výrobek (v podstatě průměrné
variabilní náklady lineární),
– minimální cenu,
– potřebné využití výrobní kapacity apod.
Vyjdeme ze základních vztahů mezi ekonomickými veličinami:
T = N ( . ) T N Zmin resp = +
p ⋅Q = FN + PVNl⋅Q ( . ) p Q FN PVNl Q Zmin resp ⋅ = + ⋅ +
Stanovení limitu variabilních nákladů:
Při dané ceně, předpokládaném objemu výroby a daných fixních nákladech lze stanovit
maximální přípustnou mez (limit) variabilních nákladů na jeden výrobek (PVNl):
PVNl = p −
Předpokládáme-li určitou minimální rentabilitu „r“ měřenou vztahem „zisk/tržby“, pak
přípustné variabilní náklady na jeden výrobek vypočteme podle vztahu („r“ dosazujeme
v podobě koeficientu):
PVNl p
Stanovení limitu fixních nákladů:
Pro výpočet maximální přípustné výše fixních nákladů použijeme vztahů:
FN = Q ⋅(p − PVNl) ( ( ) ) min resp. FN = Q p − PVNl − Z
Stanovení limitu minimální výše ceny:
Pro stanovení minimální výše ceny použijeme vztahu:
p = +
Při stanovení ceny zajišťující minimální zisk
při dané absolutní výši minimálního zisku použijeme vztahu:
p +
=
při dané rentabilitě tržeb „r“ pak vzorce:
p
=
FN
Q
+
resp PVNl p
= −
.
FN Z
min
Q
FN r p Q
= −
+ ⋅ ⋅
Q
FN
PVNl
Q
FN Z
+
min
Q
FN PVNl Q
+ ⋅
Q (1 r)
⋅ −
PVNl
Při různorodé produkci musíme pro vyjádření závislosti nákladů a objemu výroby použít
globální nákladovou funkci vyjadřující vztah mezi celkovou produkcí (v Kč) a celkovými
náklady (předpokládáme opět lineární vývoj variabilních nákladů):
N = FN + hVN
kde: hVN – podíl variabilních nákladů na 1 Kč produkce (tržeb),
Q – celková produkce (tržby) v Kč.
Podíl variabilních nákladů na 1 Kč produkce je obdobou známého haléřového ukazatele
nákladovosti (h), který však představuje podíl celkových nákladů na 1 Kč produkce.
Vzhledem k tomu, že podíl variabilních nákladů na 1 Kč produkce (hVN) u různorodé
produkce je určitou analogií průměrných variabilních nákladů lineárních (PVNl) u stejnorodé
⋅Q ;
produkce, jsou i propočty bodu zvratu, rozsahu výroby pro zajištění požadovaného zisku,
kritického využití výrobní kapacity a dalších vztahů u různorodé produkce shodné s těmito
propočty při stejnorodé produkci.
Když: T = N
kde: Q – celková produkce v Kč;
tak např.: hVN
kde: 1 – hVN – představuje výši příspěvku na úhradu fixních nákladů a zisku připadající
Q ⋅1 = FN + hVN
( )
Q BZ
resp.
FN
=
1
; popř. hvn
−
⋅Q ;
( )
Q Z
=
min
FN Z
+
min
1
−
;
na 1 Kč objemu výroby (je to obdoba příspěvku na úhradu fixních nákladů
a zisku v absolutní výši).
2. Bod zvratu při měnící se ceně a nelineárních nákladech
S růstem výroby (a tudíž i nabídky) klesá cena výrobku.
S růstem výroby variabilní náklady mohou růst rychleji než objem produkce.
Za této situace existují:
− dva body zvratu – první bod zvratu, kdy výroba začne být zisková,
Zjištění je snadné, pokud známe funkci tržeb (T) a funkci nákladů (N):
− body zvratu zjistíme řešením rovnosti funkce tržeb a funkce nákladů, tedy když
Znázornění vývoje tržeb a nákladů:
tržby ztráta
náklady T
(T, N)
– druhý bod zvratu, kdy výroba začne být opět ztrátová.
T = N .
N
zisk BZ1 – první bod zvratu
BZ2 – druhý bod zvratu
ztráta
BZ1 BZ2 objem produkce (Q)
6.3. MEZNÍ NÁKLADY A MAXIMALIZACE ZISKU
Zjištění rozsahu produkce, kdy bude dosaženo maximálního zisku, je snadné, pokud známe
funkci tržeb a funkci nákladů.
Jestliže se cena výrobku nemění s prodávaným množstvím – největší objem zisku bude
dosažen v případě, že mezní náklady (MN) se rovnají ceně výrobku (p):
MN = p
.
Jestliže dochází ke změně ceny výrobku s prodávaným množstvím – maxima zisku bude
dosaženo, když mezní náklady se rovnají mezním tržbám (MT):
MN = MT .
Při řešení v praxi využíváme znalosti marginálních veličin:
− derivace funkce tržeb = mezní tržby (MT),
− derivace funkce nákladů = mezní náklady (MN);
pak tedy musí platit z hlediska maximalizace zisku (kritérium optimality pro maximalizaci
zisku), že:
mezní náklady = mezním tržbám (resp. ceně výrobku),
MN = MT (resp. p).
Z toho vyplývá závěr, že je nutné sledovat přírůstky tržeb a přírůstky nákladů:
pokud přírůstek tržeb převyšuje přírůstek nákladů ( ∆T > ∆N ) – je výhodné rozšiřovat
výrobu,
pokud přírůstek tržeb je menší než přírůstek nákladů ( ∆T < ∆N ) – je třeba výrobu
omezovat.
Řešený příklad:
Při výrobě nového výrobku se předpokládá změna prodejní ceny s prodávaným množstvím,
počítá se s vývojem tržeb podle vztahu
výrobku jsou 250 000 Kč, variabilní náklady na l ks (průměrné variabilní náklady lineární)
činí 800 Kč.
Úkol:
1) Jaké je kritické množství výroby (bod zvratu, resp. body zvratu)?
2) Jaké množství výrobku budeme vyrábět, abychom dosáhli maximálního zisku?
3) Jakou cenu stanovíme?
Řešení:
1) Kritické množství výroby (bod zvratu, resp. body zvratu):
2 T = 7 200Q − 25Q
N = 250000 + 800Q
T = N
7 200Q 25Q 250000 800Q
Q(BZ)
Q(BZ)
Výroba začne být zisková při výrobě 48 ks výrobku (první bod zvratu) a začne být opět
ztrátová při výrobě 208 ks výrobku (druhý bod zvratu).
2) Rozsah výroby pro dosažení maximálního zisku:
MT = T ́ = 7 200 – 50Q
MN = N ́ = 800
MN = MT
7 200 – 50Q = 800
Q = 128
Maximálního zisku bude dosaženo při výrobě 128 ks výrobku.
3) Cena při optimálním rozsahu výroby:
2 T = 7 200Q − 25Q . Fixní náklady výroby nového
2
− = +
1 = 48,1 = 48
2 = 207,9 = 208
T = 7 200Q – 25Q2
p 7200 25 7 200 25 2
=
p( při Q=128) = 7 200 − 25⋅128 = 4000
Cenu výrobku (při optimálním rozsahu výroby – z hlediska maximalizace zisku)
stanovíme ve výši 4 000 Kč za 1 ks.
Q Q
−
Q
= −
Q
6.4. PROVOZNÍ PÁKA
Obecně platí, že vyšší stupeň mechanizace (automatizace, robotizace) zvyšuje podíl fixních
nákladů v celkových nákladech (dochází k substituci variabilních nákladů náklady fixními);
hovoří se o tzv. provozní páce:
provozní páka – charakterizuje podíl fixních nákladů v celkových nákladech podniku.
Je-li vyšší podíl fixních nákladů v celkových nákladech, tak stejná změna v tržbách (v objemu
výroby, resp. prodeje) vyvolá vyšší změnu v provozním zisku, to se označuje jako stupeň
provozní páky (vyjádřený v %):
stupeň provozní páky – vyjadřuje procentní změnu zisku vyvolanou jednoprocentní
změnou vyrobeného, resp. prodaného množství, při neměnné ceně též tržeb; vypočte se
podle vztahu:
stupeňprovoznípáky
procentnízměnu zisku(Z)
= =
procentnízměnatržeb(T)
Z Z
−
1 0
100
⋅
Z
0
T T
−
1 0
100
⋅
T
0
.
Podnik s vyšším stupněm mechanizace, s vyšší provozní pákou:
− dosahuje bodu zvratu při vyšším objemu výroby a prodeje,
− po dosažení bodu zvratu ale jeho zisk roste rychleji.
Vyšší provozní páka podniku však zvyšuje i jeho podnikatelské riziko, při poklesu výroby a
prodeje se podnik dříve dostane do ztráty.
Obecně platí, že:
− při růstu výroby (v období konjunktury) jsou na tom lépe podniky s vysokým stupněm
provozní páky (s relativně vysokými fixními náklady),
− při poklesu výroby (v období recese) pak podniky s relativně vysokými variabilními
náklady.
Řešený příklad:
Dva podniky (A a B) produkující stejný výrobek se liší pouze podílem fixních a variabilních
nákladů (v důsledku různého stupně mechanizace – v podniku A je nízký, v podniku B je
vysoký). Fixní náklady podniku A jsou 400 000 Kč, podniku B 2 400 000 Kč. Variabilní
náklady na 1 kus výrobku (PVNl) podniku A jsou 60 Kč, podniku B 20 Kč. Prodejní cena
výrobku je stejná, a sice 80 Kč za 1 kus.
Úkol:
1) Stanovte bod zvratu daných podniků.
2) Vyjádřete stupeň provozní páky podniku A i podniku B.
Řešení:
1) Bod zvratu:
Podnik A:
Podnik B:
Podnik B (s vyšší provozní pákou) dosáhne bodu zvratu až při dvojnásobném objemu
výroby v porovnání s podnikem A.
2) Stupeň provozní páky:
Při výpočtu uvažujme např. se změnou objemu výroby a prodeje z 50 000 na 60 000 ks:
Podnik A: při Q0 = 50 000 ks T0 = 4 000 000 Kč
400000 ( ) =
Q BZ 20000
=
p PVNl
2400000 ( ) =
Q BZ 40000
=
p PVNl
FN
=
−
FN
=
−
80 60
−
ks
ks
80 20
−
při Q1 = 60 000 ks T1 = 4 800 000 Kč
Podnik B: při Q0 = 50 000 ks T0 = 4 000 000 Kč
při Q1 = 60 000 ks T1 = 4 800 000 Kč
N0 = 3 400 000 Kč
Z0 = 600 000 Kč
N1 = 4 000 000 Kč
Z1 = 800 000 Kč
N0 = 3 400 000 Kč
Z0 = 600 000 Kč
N1 = 3 600 000 Kč
Z1 = 1 200 000 Kč
Stupeň provozní páky:
Podnik A:
procentnízměnu zisku(Z)
= =
procentnízměnatržeb(T)
Podnik B:
800000 600000
100
=
4800000 4000000
= =
procentnízměnu zisku(Z)
procentnízměnatržeb(T)
Z Z
−
1 0
⋅
Z
0
T T
−
1 0
100
⋅
T
0
Z Z
−
1 0
Z
0
T T
−
1 0
T
0
100
⋅
=
100
⋅
−
600000
−
4000000
1200000 600000
−
600000
4800000 4000000
−
4000000
100
⋅
1,67%
=
100
⋅
100
⋅
100
⋅
5,00%
=
V podniku A při zvýšení prodeje (při neměnné ceně ale i tržeb) o 1 % se zvýší zisk
o 1,67 %, v podniku B o 5,00 %; podnik B má 3krát vyšší stupeň provozní páky.
PŘÍKLADY K PROCVIČENÍ
PŘÍKLAD 1:
Při výrobě daného výrobku platí nákladová funkce:
2 3 N = 2000000 +1737500Q − 281250Q +18750Q ,
kde Q je produkce výrobku v tis. kusů.
Úkol:
1) Odvoďte funkci průměrných nákladů a funkci mezních nákladů podle derivace.
2) Vypočtěte minimum průměrných nákladů a minimum mezních nákladů a jim odpovídající
rozsah produkce.
Řešení:
1) Funkce průměrných nákladů:
Funkce mezních nákladů (podle derivace):
2) Minimum průměrných nákladů:
Minimum mezních nákladů:
PŘÍKLAD 2:
Podnik vyrábí disky kol pro automobily. Roční fixní náklady jsou 36 mil. Kč, variabilní
náklady na 1 disk činí 100 Kč, cena disku je 150 Kč. Výrobní kapacita podniku je 1 800 000
kusů disků kol.
Úkol:
1) Vyjádřete relativní úsporu fixních nákladů v Kč rozšířením výroby z 1 500 000 na
1 800 000 kusů.
2) Vyjádřete relativní úsporu nákladů v % – průměrných nákladů, resp. haléřové
nákladovosti – vlivem fixních nákladů, zvýšíme-li objem výroby z 1 500 000 na
1 800 000 kusů.
3) Stanovte nevyužité fixní náklady při výrobě 1 500 000 kusů disků kol.
Řešení:
1) Relativní úspora fixních nákladů v Kč:
2) Relativní úspora nákladů v % – průměrných nákladů, resp. haléřové nákladovosti –
vlivem fixních nákladů:
3) Nevyužité fixní náklady v Kč (při Q = 1 500 000 ks):
PŘÍKLAD 3:
Pro zvýšení konkurenční schopnosti svých výrobků je podnik postaven před úkol snížit
haléřovou nákladovost o 4 %; současná úroveň haléřové nákladovosti je 0,850, má se tedy
snížit na 0,816. Podíl fixních nákladů na celkových nákladech je 33 %, podnik plánuje
zvýšení objemu výroby (v rámci stávající výrobní kapacity) o 10 %.
Úkol:
1) Kolik procent snížení nákladů (haléřové nákladovosti) zajistí vliv fixních nákladů?
2) Kolik případně zbývá na snížení variabilních nákladů?
Řešení:
1) Relativní úspora nákladů v % – haléřové nákladovosti – vlivem fixních nákladů:
2) Snížení variabilních nákladů:
PŘÍKLAD 4:
Podnik vyrábí jeden druh výrobku, jehož prodejní cena činí 22 Kč za 1 ks. Variabilní náklady
na 1 ks jsou 14 Kč, roční objem fixních nákladů podniku činí 2 800 000 Kč.
Úkol:
1) Určete bod zvratu.
2) Zjistěte kritické využití výrobní kapacity, jestliže roční výrobní kapacita podniku je
500 000 ks výrobku.
3) Vyjádřete koeficient bezpečnosti, jestliže skutečný objem výroby podniku je 400 000 ks.
4) Stanovte rozsah výroby, při němž podnik dosáhne požadovaného zisku ve výši
800 000 Kč.
Řešení:
1) Bod zvratu:
2) Kritické využití výrobní kapacity:
3) Koeficient bezpečnosti:
4) Bod zvratu pro dosažení požadovaného zisku:
PŘÍKLAD 5:
Podnik uvažuje o výrobě nového výrobku; předpokládaný roční objem výroby a prodeje je
400 000 ks při prodejní ceně 22 Kč za 1 ks, plánovaný roční objem fixních nákladů na tento
výrobek je 2 800 000 Kč.
Úkol:
1) Stanovte limit variabilních nákladů na jeden výrobek.
2) Stanovte limit variabilních nákladů na jeden výrobek, pokud podnik předpokládá při jeho
výrobě dosáhnout minimálního ročního zisku ve výši 968 000 Kč.
3) Stanovte limit variabilních nákladů na jeden výrobek, pokud podnik předpokládá při jeho
výrobě dosáhnout minimální rentability tržeb 11 %.
Řešení:
1) Limit variabilních nákladů:
2) Limit variabilních nákladů pro požadovaný minimální zisk:
3) Limit variabilních nákladů pro požadovanou minimální rentabilitu tržeb:
PŘÍKLAD 6:
Podnik uvažuje o výrobě nového výrobku; předpokládaný roční objem výroby a prodeje je
400 000 ks při prodejní ceně 22 Kč za 1 ks, plánovaná výše variabilních nákladů na jeden
výrobek je 14 Kč.
Úkol:
1) Stanovte limit fixních nákladů na daný výrobek.
2) Stanovte limit fixních nákladů na daný výrobek, pokud podnik předpokládá při jeho
výrobě dosáhnout minimálního ročního zisku ve výši 968 000 Kč.
Řešení:
1) Limit fixních nákladů:
2) Limit fixních nákladů při požadovaném minimálním zisku:
PŘÍKLAD 7:
Podnik uvažuje o výrobě nového výrobku; předpokládaný roční objem výroby a prodeje
je 400 000 ks, plánovaný roční objem fixních nákladů na tento výrobek je 2 800 000 Kč,
předpokládané variabilní náklady na jeden výrobek činí 14 Kč.
Úkol:
1) Stanovte limit minimální výše ceny za jeden výrobek.
2) Stanovte limit ceny za jeden výrobek, pokud podnik předpokládá při jeho výrobě
dosáhnout minimálního ročního zisku ve výši 1 200 000 Kč.
3) Stanovte limit ceny za jeden výrobek, pokud podnik předpokládá při jeho výrobě
dosáhnout minimální rentability tržeb 12,5 %.
Řešení:
1) Limit ceny:
2) Limit ceny při požadovaném minimálním zisku:
3) Limit ceny při požadované minimální rentabilitě tržeb:
PŘÍKLAD 8:
Při výrobě nového výrobku se předpokládá změna prodejní ceny s prodávaným
množstvím; testováním trhu bylo odvozeno, že tržby (T) se budou vyvíjet podle vztahu
2 T = 5000Q −10Q , kde Q je počet vyrobených a prodaných výrobků. Fixní náklady daného
výrobku jsou 171 000 Kč, variabilní náklady na 1 ks (PVNl) činí 2 200 Kč.
Úkol:
1) Jaké je kritické množství výroby (bod zvratu, resp. body zvratu)?
2) Jaké množství výrobku budeme vyrábět, abychom dosáhli maximálního zisku?
3) Jakou prodejní cenu stanovíme?
4) Jaké budou tržby, náklady a zisk při výrobě optimálního množství výrobku?
5) Znázorněte graficky vývoj tržeb, nákladů a zisku při výrobě daného výrobku, jakož i
optimální rozsah výroby a kritické množství výroby.
Řešení:
1) Kritické množství výroby (body zvratu):
2) Rozsah výroby pro dosažení maximálního zisku:
3) Stanovení prodejní ceny výrobku při optimálním rozsahu výroby:
4) Tržby, náklady a zisk při produkci optimálního množství výrobku:
5) Vývoj tržeb, nákladů a zisku, optimální rozsah výroby, body zvratu:
Rozsah výroby (Q) v ks Tržby (T) v Kč Náklady (N) v Kč Zisk (Z) v Kč
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
Grafické znázornění:
PŘÍKLAD 9:
Při výrobě daného výrobku platí nákladová funkce:
2 3 N = 2000000 +1737500Q − 281250Q +18750Q ,
kde Q je produkce výrobku v tis. kusů (stejné zadání jako u příkladu 1).
Úkol:
Stanovte rozsah produkce (Q), jejíž realizace poskytne maximum zisku, jestliže prodejní
cena jednotky produkce činí 1 230 Kč, tj. prodejní cena (p) za tis. kusů výrobku (Q) je
1 230 000 Kč.
Řešení:
PŘÍKLAD 10:
Dva podniky (X a Y) produkují stejný výrobek. Fixní náklady daného výrobku v podniku X
jsou 450 000 Kč, v podniku Y 1 400 000 Kč. Variabilní náklady na 1 kus výrobku (PVNl)
podniku X jsou 50 Kč, podniku Y 25 Kč. Prodejní cena výrobku je stejná, a sice 95 Kč za 1
kus.
Úkol:
1) Stanovte bod zvratu produkce daného výrobku u obou podniků.
2) Vyjádřete stupeň provozní páky podniku X i podniku Y.
Řešení:
1) Bod zvratu:
2) Stupeň provozní páky:
Při výpočtu uvažujme např. se změnou objemu výroby a prodeje z 30 000 na 40 000 ks:
Stupeň provozní páky:
OTÁZKY:
1) K čemu slouží analýza bodu zvratu?
2) Co rozumíme provozní pákou? Jak stupeň provozní páky ovlivňuje podnikatelské riziko?
3) K čemu slouží znalost marginálních tržeb a marginálních nákladů?